随机变量及其概率分布

随机变量及其分布函数

随机变量

在样品空间 \(\Omega\) 上的实值函数 \(X=X(\omega),\omega in\Omega\) ，则称 \(X(\omega)\) 为随机变量，简记 \(X\)

分布函数

对于任意实数 \(x\) ，记函数 \(F(x)=P(X\leq x),-\infty <x<\infty] ，称 latexmath:[F(x)] 为随机变量 latexmath:[X] 的分布函数 + [NOTE] .Note ==== 分布函数是定义在 latexmath:[(-\infty,\infty)\) 上的实值函数， \(F(x)\) 的值等于随机变量 \(X\) 在区间 \((-\infty,x\)] 内取值的概率，即事件 \(X\leq x\) 的概率 ==== + 分布函数的性质如下： +

\(0\leq F(x\leq 1,\lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0)\) ，记作 \(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1\)
\(F(x)\) 为单调非减函数，即若 \(x_1<x_2\) 则 \(F(x_1)\leq F(x_2)\)
\(F(x)\) 右连续
对任意 \(x_1<x_2\) ，有 \(P(x_1<X\leq x_2)=F(x_2)-F(x_1)\)
对任意的 \(x, P(X=x)=F(x)-F(x-0)\)

离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量: 一个随机变量全部可能的取值是有限个或可数无穷个
离散型随机变量 \(X\) 的概率分布: 设随机变量 \(X\) 的可能取值是 \(x_1,x_2,\cdots\) , \(X\) 的可能值的概率是 \(P(X=x_k)=P_k, k=1,2,\cdots\) 。则称此式为离散型随机变量 \(X\) 的概率分布或分布率
连续型随机变量及其概率密度: 如果对于随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) ，存在一个非负可积函数 \(f(x)\) ，使得对于任意实数 \(x\) 都有 \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt, -\infty<x<+\infty\) 。则称 \(X\) 是连续型随机变量，函数 \(f(x)\) 称为 \(X\) 的概率密度

常用分布

0-1 分布
如果随机变量 \(X\) 有分布率 + + [latexmath] + \[\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} X & 0 & 1 \\ \hline P & 1-p & p \end{array} \end{aligned}\] + + \(0<p<1\) 则称 \(X\) 服从参数 \(p\) 的 \(0-1\) 分布，或称 \(X\) 具有 \(0-1\) 分布
二项分布
如果随机变量具有分布率 + + [latexmath] + \[P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}, k=0,1,2,\cdots,n\] + + 其中 \(0<p<1,q=1-p\) ，则称 \(X\) 服从参数为 \(n,p\) 的二项分布，记作 \(X\sim B(n,p)\) + [NOTE] .Note ==== 当 \(n=1\) 时，二项分布就退化成了 \(0-1\) 分布 ====
几何分布
如果随机变量 \(X\) 的分布率为 \(P\{X=k\}=pq^{k-1},k=1,2,\cdots\) 。其中 \(0<p<1,q=1-p\) ，则称 \(X\) 为服从参数为 \(p\) 的几何分布，或称 \(X\) 具有几何分布
超几何分布
如果随机变量的分布率为 + + [latexmath] + \[P\{X=k\}=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},k=l_1,\cdots,l_2\] + + 其中 \(l_1=max(0,n-N+M),l_2=min(M,n)\) ，则称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n,N,M\) 的超几何分布 + 如果 \(N\) 件产品中含有 \(M\) 件次品，从中任意一次取出 \(n\) 件，另 \(X=\) 抽取的 \(n\) 件产品中的次品个数，则 \(X\) 服从参数为 \(n,N,M\) 的超几何分布 + [NOTE] .Note ==== 如果是有放回的取出，则 \(X\sim B(n,\frac{M}{N})\) ====
泊松分布
如果随机变量 \(X\) 的分布率为 \(P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots,\) 其中 \(\lambda>0\) 为常数，则称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，记作 \(X\sim P(\lambda)\)
均匀分布
如果连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 + + [latexmath] + \[\begin{aligned} f(x)= \left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{b-a}, &a\leq x\leq b \\ 0, &\text{其他} \end{array}\right. \end{aligned}\] + + 则称 \(X\) 在区间 \([a,b\)] 上服从均匀分布，记作 \(X\sim U[a,b\)] 。于此类似，还有开区间版本的 \(X\sim U(a,b)\)
指数分布
如果连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 + + [latexmath] + \[\begin{aligned} f(x)= \left\{\begin{array}{lc} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x\leq 0 \end{array}\right. \end{aligned}\] + + 其中 \(\lambda >0\) ，则称 \(X`服从参数为 :math:\)lambda` 的指数分布，记作 \(X\sim E(\lambda)\)
正态分布
如果连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 + + [latexmath] + \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\mu^2}}, -\infty
泊松定理
在伯努利实验中， \(p_n\) 代表事件 \(A\) 在实验中能出现的概率，它与实验总数 \(n\) 有关，若 \(\lim\limits_{n\to\infty}bp_n=\lambda\) 则 + + [latexmath] + \[\lim\limits_{n\to\infty}C_n^kp_{n}^{k}(1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\] +