随机变量的数字特征
随机变量的数学期望和方差
- 离散型随机变量的数学期望
设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots\) 。如果级数 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k] 绝对收敛，则称此级数为随机变量 latexmath:[X] 的数学期望或均值，记作 latexmath:[E(X)] ，即 latexmath:[E(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)
- 连续型随机变量的数学期望
设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(f(x)\) ，则其数学期望为 \(E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)
- 数学期望的性质
设 \(C\) 为常数， \(E(C)=C\)
设 \(X\) 是随机变量， \(C\) 为常数，则 \(E(CX)=CE(X)\)
\(E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)\)
设 \(X,Y\) 相互独立，则 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
- 随机变量 \(X\) 的函数 \(Y-g(X)\) 的数学期望
设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=x_k\},k=1,2,\cdots\) 如果级数 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k] 绝对收敛，则随机变量 latexmath:[Y=g(X)] 的数学期望为 latexmath:[E(X)=E[g(x)]=\sum\limits_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k\)
设随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)\) ，如果积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx] 绝对收敛，则随机变量 latexmath:[Y=g(X)] 的数学期望为 latexmath:[E(Y)=E[g(x)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)
- 随机变量 \((X,Y)\) 和函数 \(Z=g(X,Y)\) 的数学期望
设随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布为 \(P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots\) ，则随机变量 \(Z\) 的数学期望为 \(E(Z)=E[g(X,Y)\)\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_i)p_{ij}]
设随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\) ，如果积分 \(\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy] 绝对收敛，则随机变量 latexmath:[Z=g(X,Y)] 的数学期望为 latexmath:[E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\)
- 方差：
设 \(X\) 是随机变量，如果数学期望 \(E\{[X-E(x)\)^2\}] 存在，则称之为 \(X\) 的方差，记作 \(D(X)\) ，即 \(D(X)=E\{[X-E(X)\)^2\}] 称 \(\sqrt{D(X)}\) 为随机变量 \(X\) 的标准差或均方差，记作 \(\sigma(X)\) ，即 \(\sigma=\sqrt{D(X)}\) + 计算公式为 \(D(X)=E(X^2)-[E(X)\)^2]
- 方差的性质
\(D(C)=0\) ，反之则不然
\(D(aX+b)=a^2D(X)\)
设随机变量 \(X,Y\) 互相独立，则 \(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\)
常用随机变量的数学期望和方差
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
0-1 分布 | \(p\) | \(p(1-p)\) |
二项分布 \(X\sim B(n,p)\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
泊松分布 \(X\sim P(\lambda)\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
几何分布 \(P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots,0<p<1\) | \(\frac{1}{p}\) | \(\frac{1-p}{p^2}\) |
均匀分布 \(X\sim U(a,b)\) | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
指数分布 \(X\sim E(\lambda)\) | \(\frac{1}{\lambda}\) | \(\frac{1}{\lambda^2}\) |
正态分布 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
矩、协方差和相关系数
这里跳过，参见 P514