多维随机变量及其分布

设 \(X=X(\omega), Y=Y(\omega)\) 是定义在样本空间 \(\Omega\) 上的两个随机变量，则称向量 \((X,Y)\) 为二维随机变量，或随机变量

\(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\},-\infty<x<\infty,-\infty<y<\infty\)

如果对于任意给定的 \(\epsilon>0, P\{y-\epsilon\leq y+\epsilon\}>0\) 有 \(\lim\limits_{\epsilon\to o^}P\{X\leq x|y-\epsilon<Y\leq y\epsilon\}=\lim\limits_{\epsilon\to 0^}\frac{P\{X\leq x,y-\epsilon <Y\leq y\epsilon\}}{P\{y-\epsilon <Y\leq y+\epsilon\}}\) 存在，则称此极限为在条件 \(Y=y\) 下 \(X\) 的条件分布，记作 \(F_{X|Y}(x|y)\) 或 \(P\{X\leq x|Y=y\}\) 。类似的可以定义 \(F_{Y|X}(y|x)\)

二维随机变量 \((X,Y)\) 可能取值为有限个或可数无穷个 \((x_i,y_i)， i,j=1,2,\cdots,\) 则称 \((X,Y)\) 为二维离散型随机变量

二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的可能取值为 \((x,y),(i,j=1,2,\cdots)\) 称 \(P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots\) 为二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的概率分布或分布律

\(p_{i\cdot}=P\{X=x_i\},i=1,2,\cdots\) 和 \(p_{\cdot j}=P\{Y=y_i\},i=1,2,\cdots\) 分别被称为 \((X,Y)\) 关于 \(X,Y\) 的边缘分布

对给定的 \(j\) ，如果 \(P\{Y=y_i\}>0,j=1,2,\cdots\) 则称 \(P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}, i=1,2,\cdots\) 为在 \(Y=y_i\) 条件下随机变量 \(X\) 的条件分布

如果对随机变量 \((X,Y)\) 的分布 \(F(x,y)\) 存在非负函数 \(f(x,y)\) ，使得对于任意实数 \(x,y\) 都有 \(F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv,-\infty<x,y<\infty] 则称 latexmath:[(X,Y)] 为二维连续型随机变量，函数 latexmath:[f(x,y)] 称为 latexmath:[(X,Y)] 的概率密度 + 对于连续型随机变量 latexmath:[(X,Y)] ，设它的概率密度为 latexmath:[f(x,y)] ，由 latexmath:[F(x,\infty)=\int_{-\infty}^x[\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy]dx] 知道， latexmath:[X] 也是一个连续型变量，且其概率密度为 latexmath:[f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\)

定义 \(f_X(x)=\int_{-infty}^{\infty}f(x,y)dy 和 f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\) 被分别称为 \((X,Y)\) 关于 \(X,Y\) 的边缘密度

设 \(f(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 连续， \(f_Y(y)\) 连续且 \(f_Y(y)>0\) ，则条件分布 \(F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^x\frac{f(s,y)}{f_Y(y)}ds\) 其中 \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\) 被称为在条件 \(Y=y\) 下的条件密度，记作 \(f_{X|Y}(x|y)\) ，即 \(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},f_Y(y)>0\) ，类似可定义，当 \(f_X(x)>0\) 时， \(f_{X|Y}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\) 和 \(F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty}^y=\frac{f(x,s)}{f_X(x)}ds\)

如果对于任意 \(x,y\) 都有 \(P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}, F(x,y)=F_x(x)F_Y(y)\) ，则称随机变量 \(X,Y\) 相互独立

如果二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 + + [latexmath] + \[\begin{aligned} f(x,y)= \left\{\begin{array}{lc} \frac{1}{A}, &(x,y)\in G\\ 0, &\text{其他} \end{array}\right. \end{aligned}\] + + 其中 \(A\) 是平面有界区域 \(G\) 的面积，则称 \((X,Y)\) 服从区域 \(G\) 上的均与分布

如果二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}, -\infty<x<\infty,-\infty<y<+\infty\) + 其中 \(\mu_1.\mu_2,\sigma_1>0,-1<\rho<1\) 均为常数，则称 \((X,Y)\) 服从参数为 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho\) 的二维正态分布，记作 \((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)\)