随机事件与概率
- 随机实验
满足一下条件的实验成为 随机实验 ： +
实验可以在相同条件下重复进行
实验的所有可能结果事先已经知道，且不唯一
试验前不能确定试验后会出现哪一个结果
- 样本点
一个随机实验的每一个可能结果称为一个 样本点 ，记为 \(\omega\) 。所有样本点的集合称为 样本空间 ，记为 \(\Omega\) 。
- 事件
在大量重复试验中具有某种规律性的事情称为随机事件，简称 事件 +
只有一个样本点的事件称为 基本事件
实验中一定发生的事件称为 必然事件 ，记为 \(\Omega\)
实验中一定不会发生的事件称为 不可能事件 ，记为 \(\varnothing\)
- 随机事件的关系与运算
若事件 \(A\) 发生必然导致事件 \(B\) 发生，则称事件 \(A\) 包含于 \(B\) ，记作 \(A\subset B\)
若事件 \(A\) 包含事件 \(B\) ，而事件 \(B\) 也包含事件 \(A\) ，则称事件相等，记作 \(A=B\)
若事件 \(A\) 与事件 \(B\) 至少有一个发生，则称为事件的并： \(A\cup B\)
若事件 \(A\) 和 \(B\) 同时发生，则称为事件的交： \(A\cap B\)
若事件 \(A\) 发生而 \(B\) 不发生，则称为事件的差： \(A-B\)
若事件 \(A\) 与事件 \(B\) 不可能同时发生，则称为两事件互斥（互不相容）： \(AB=A\cap B=\varnothing\)
事件 \(\Omega -A\) 称为事件 \(A\) 的对立事件：\(\overline A = \Omega -A\) + [NOTE] .Note ==== 只含有一个样本点的事件称为基本事件，那么任意一个基本事件组总是两两互不相容事件组 ====
事件的运算
-
- 对偶率：
\(\overline{A\cap B}=\overline A \cup \overline B\)
\(\overline{A\cup B}=\overline A \cap \overline B\)
概率、条件概率、独立性和五大公式
设实验 \(E\) 的样本空间为 \(\Omega\) ，称实值函数 \(P\) 为概率，若 \(P\) 满足如下条件：
非负性：对于任意一个事件 \(A\) ， \(P(A)\geq 0\)
规范性：对于必然事件 \(\Omega\) ， \(P(\Omega)=1\)
可列可加性：对于两两互斥事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 有 \(P(A_1\cap A_2\cdots\cap A_n\cdots)=P(A_1)P(A_2)\cdots+P(A_n)+\cdots\) 。称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 的概率
- 概率的性质
\(P(\varnothing)=0\)
\(P(\overline{A})=1-P(A)\)
\(A\subset B\) ，则 \(P(A)\leq P(B)\)
\(0\leq P(A)\leq 1\)
- 条件概率
设 \(A,B\) 为两事件，且 \(P(A)>0\) ，称 \(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\) 为在条件 \(A\) 下事件 \(B\) 的发生概率
- 事件独立性
设事件 \(A,B\) 满足等式 \(P(AB)=P(A)P(B)\) ，则称事件 \(A,B\) 互相独立 +
\(A,B\) 相互独立的充要条件是 \(A,\overline{B}\) 、 \(\overline{A},B\) 、 \(\overline{A},\overline{B}\) 相互独立
当 \(0<P(A)<1\) 时， \(A,B\) 独立等价于 \(P(B|A)=P(B)\) 或 \(P(B|A)=P(B|\overline{A})\) 成立
若多个事件相互独立，则事件必两两独立。反之则不成立
多个事件相互独立时，它们的部分事件也相互独立
- 五大公式
加法公式： \(P(A\cup V)=P(A+P(B)-P(AB)，P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\)
减法公式： \(P(A-B)=P(A)-P(B)\)
乘法公式：
当 \(P(A)>0\) 时， \(P(AB)=P(A)P(B|A)\)
当 \(P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0\) 时， \(P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})\)
全概率公式： 设 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 满足 \(\bigcup\limits^{n}_{i=1}B_i=\Omega,B_iB_j=\varnothing(i\neq j)\) 且 \(P(B_k)>0(k=1,2,\cdots ,n)\) 则对于任意事件有 \(P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\) 。称满足 \(\bigcup\limits^{n}_{i=1}B_i=\varnothing, B_iB_j=\varnothing(i\neq j)\) 的 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为 \(\Omega\) 的一个完备事件组
贝叶斯公式：设 \(B_1,B_2,\cdots,B_n\) 为 \(\Omega\) 的一个完备事件组，且 \(P(A)>0,P(B_k)>0(k=1,2,\cdots,n)\) 则 \(P(B_j|A)=\frac{P(B_jP(A|B_j))}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}, j=1,2,\cdots ,n\)
古典概型和伯努利概型
- 古典概型
事件结果有限，且每个结果的可能性相同，则事件 \(A\) 的概率为 \(P(A)=\frac{\text{A 包含的样本总数}}{\text{样本点总数}}\)
几何概型
- 伯努利概型
实验结果只有 \(A,\overline{A}\) ，且同一事件在所有实验中概率相同，将实验结果进行 \(n\) 次，事件 \(A\) 发生 \(k\) 次的可能性为 \(C^k_nP^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n\)