特征值、特征向量、相似矩阵

内积

向量 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 的内积 $$[\boldsymbol{x,y}$=\sum\limits_{i=0}^{n}x_iy_i$]

当 $\boldsymbol{x,y}$ 都是列向量时，有 $$[\boldsymbol{x,y}$=\boldsymbol{x^Ty}$]

内积具有以下性质：

$$[\boldsymbol{x,y}$=[\boldsymbol{y,x}]$]
$$[\boldsymbol{\lambda x,y}$=\boldsymbol{\lambda}[\boldsymbol{x,y}]$]
$$[\boldsymbol{x+y,z}$=[\boldsymbol{x,z}]+[\boldsymbol{y,z]}$]
当 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 时，$$[\boldsymbol{x,x}$=\boldsymbol{0}$] ；当 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ 时， $$[\boldsymbol{x,x}$>0$]

施瓦茨不等式
$$[\boldsymbol{x,y}$^2\leq[\boldsymbol{x,x}][\boldsymbol{y,y}]$]
长度
$n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 的长度为 $$\left\|x\right\|=\sqrt{[\boldsymbol{x,x}$}$]
长度具有非负性：当 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ 时， $\left\|\boldsymbol{x}\right\|>0$ ；当 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 时， $\left\|\boldsymbol{x}\right\|=0$
长度具有齐次性：$\left\|\boldsymbol{\lambda x}\right\|=\left|\lambda\right|\left\|\boldsymbol{x}\right\|$
长度为零的向量为单位向量
$\boldsymbol{x,y}$ 的夹角的正弦为： $$\cos\theta=\frac{[\boldsymbol{x,y}$}{\left\|\boldsymbol{x}\right\|\left\|\boldsymbol{y}\right\|}$]
当两向量的内积为零时，称两向量正交
若 $r$ 个 $n$ 维向量是一组两两正交的向量，则这 $r$ 个向量一定线性无关。而且这 $r$ 个向量被成为一个 标准正交基 。向量空间 $R^r$ 中的任一向量都可以被这一组向量表示。

施密特正交化
取 + + [latexmath] + \[\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{b_1}=\boldsymbol{a_1}\\ \boldsymbol{b_2}=\boldsymbol{a_2}-\frac{[\boldsymbol{b_1,a_2}]}{\boldsymbol{b_1,b_1}}\boldsymbol{b_1}\\ \cdots\cdots\\ \boldsymbol{b_r}=\boldsymbol{a_r}-\frac{[\boldsymbol{b_1,a_r}]}{\boldsymbol{b_1,b_1}}\boldsymbol{b_1}-\frac{[\boldsymbol{b_2,a_r}]}{\boldsymbol{b_2,b_2}}\boldsymbol{b_2}-\cdots-\frac{[\boldsymbol{b_{r-1},a_r}]}{\boldsymbol{b_{r-1},b_{r-1}}}\boldsymbol{b_{r-1}} \end{array}\right. \end{aligned}\] + + 则这些变量两两正交。 + 然后进行单位化： + $\boldsymbol{e_1}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{b_1}\right\|}\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{e_2}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{b_2}\right\|}\boldsymbol{b_2},\cdots,\boldsymbol{e_r}=\frac{1}{\left\|\boldsymbol{b_r}\right\|}\boldsymbol{b_r}$ + 就得到了一个标准正交基
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\boldsymbol{A^TA}=\boldsymbol{E}$ （即 $\boldsymbol{A^{-1}}=\boldsymbol{A^T}$ ）。那么称 $\boldsymbol{A}$ 为 正交矩阵 ，简称正交阵
方阵 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵的充要条件是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量都是单位向量，且两两正交

正交矩阵具有以下性质：

若 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵，那么 $\boldsymbol{A^{-1}}=\boldsymbol{A^T}$ 也是正交矩阵，且 $\left|\boldsymbol{A}\right|=1$ （或 $-1$ ）
若 $\boldsymbol{A,B}$ 都是正交矩阵，那么 $\boldsymbol{AB}$ 也是正交矩阵
若 $\boldsymbol{P}$ 是正交矩阵，则线性变换 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Px}$ 也是正交变换
向量经过正交变换长度不变

方阵的特征值和特征向量

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $\boldsymbol{x}$ 使关系式

\[\boldsymbol{Ax}=\lambda\boldsymbol{x}\]

成立，那么，这样的数称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 特征值，非零向量 $\boldsymbol{x}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的 特征向量。

由上式可得 $\left|\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{E}\right|=0$ 。此式称为 $\boldsymbol{A}$ 的 特征方程

$\boldsymbol{A}$ 的特征值就是就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，且解的个数与特征方程的次数相同（可能有重根）

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则有

$\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$
$\prod_{i=1}^{n}\lambda_i=\left|\boldsymbol{A}\right|$
$\lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值
$\frac{1}{\lambda}$ 是 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值
如果 $\boldsymbol{p_1}, \boldsymbol{p_2}, \cdots,\boldsymbol{p_n}$ 是特征值对应的特征向量，且上述特征值各不相同，那么特征向量之间线性无关
如果 $lambda_1, \lambda_2$ 是方阵的来个不同特征值， $\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_s$ 和 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 是对应的两个线性无关的特征向量，那么 $\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_s,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$ 线性无关

由 2 可知， $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵的充要条件是它的 $n$ 个特征值全不为零。

对上式进行变形就可以得到求特征值的方法：

\[(\boldsymbol{A}-\lambda_i\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\]

对上述方程求解就可以得到 $\lambda$ 的值以及其对应的特征向量

相似矩阵

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有 可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P^{-1}AP}=\boldsymbol{B}$ ，那么 $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的相似矩阵。对 $\boldsymbol{A}$ 进行 $\boldsymbol{P^{-1}AP}$ 叫做相似变换

相似矩阵的特征多项式和特征值相同
若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与对角矩阵

+
\[\begin{aligned} \boldsymbol{\Lambda}= \left|\begin{array}{llll} \lambda_1 &&& \\ & \lambda_2 &&\\ && \ddots & \\ &&& \lambda_n \end{array}\right| \end{aligned}\]
相似，那么 $\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 就是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值
$\boldsymbol{A}$ 能对角化（有对应的相似对角矩阵）的充要条件是 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
对称矩阵的特征值为实数
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个特征值， $\boldsymbol{p_1}, \boldsymbol{p_2}$ 是对应的特征向量，若 $\lambda_1\neq\lambda_2$ ，则 $\boldsymbol{p_1}, \boldsymbol{p_2}$ 正交
若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶对称矩阵，必有正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P^{-1}AP}=\boldsymbol{P^TAP}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，其中 $\Lambda$ 是以 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角矩阵

二次型及其标准型

二次齐次多项式（二次型）用矩阵可表示为： $f=\boldsymbol{x^TAx}$ 。其中

\[\begin{aligned} \boldsymbol{A} = \left|\begin{array}{lll} x^2 & \frac{1}{2}xy & \frac{1}{2}xz \\ \frac{1}{2}xy & y^2 & \frac{1}{2}yz \\ \frac{1}{2}xz & & z^2 \end{array}\right| \end{aligned}\]

$\boldsymbol{A}$ 叫做二次型 $f$ 的矩阵， $f$ 叫做对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的二次型，对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩就叫做二次型 $f$ 的秩。

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{AC}$ ，则称矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 合同

求合同矩阵并对角化后就得到了标准化的二次型

其标准型使用矩阵可表示为 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}$

将二次型化为标准型的步骤为：

写出二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}$
求出矩阵的正交矩阵 $\boldsymbol{P}$
通过 $\Lambda = \boldsymbol{P}^T\boldsymbol{AP}$ 求出合同矩阵

这求得的合同矩阵必定是对角矩阵，矩阵主对角线上的元就是标准型的系数

用正交变换将二次型化为标准型可以保持几何形状不变

正定二次型

二次型的正系数的个数成为 正惯性指数 ，反之为 负惯性指数
若对二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Ax}$ ，对于任何 $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ 都有 $f(\boldsymbol{x})>0$ ，那么称二次型为 正定二次型 ，并称 $\boldsymbol{A}$ 是正定的。反之为 负定二次型
二次型是正定的充要条件为它标准型的所有系数全为正，也就是说它的正惯性系数指数等于 $n$
对称矩阵为正定的充要条件为它的特征值全为正
若对称矩阵的 $\boldsymbol{A}$ 的各阶子式均为正，那么它是正定的
若对称矩阵的 $\boldsymbol{A}$ 的奇数阶子式为正，偶数阶为负，那它是负定的