矩阵
若两个矩阵行列数相同，则称为同型矩阵
不同型的零矩阵是不同的
系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵、增广矩阵
单位矩阵
矩阵的运算
只有当两个矩阵是同型矩阵的时候才能进行加减运算 只有左矩阵的列数和右矩阵的行数相同的时候此能进行乘法运算
\(c_{ij}=\sum\limits_{s}^{k=1}a_{ik}b_{kj}\)
若 \(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}\) ，则称两个矩阵是可交换的
\(\boldsymbol{EA}=\boldsymbol{AE}\)
\((\boldsymbol{A}^{T})^T=\boldsymbol{A}\)
\((\boldsymbol{A+B})^{T}=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T\)
\((\lambda\boldsymbol{A})^{T}=\lambda\boldsymbol{A}^T\)
\((\boldsymbol{AB})^{T}=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T\)
- 逆矩阵
如果存在一个矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 使得 \(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E}\) 。则 \(\boldsymbol{A}\) 是可逆的， \(\boldsymbol{B}\) 是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的逆矩阵。
若矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，则 \(\left|\boldsymbol{A}\right|\neq 0\)
\(\boldsymbol{A}\) 的逆矩阵 \(\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|}\boldsymbol{A}^*\)
行列式不为零的矩阵称为 非奇异矩阵 。可逆矩阵必定是非奇异矩阵
若 \(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{E}\) ，则 \(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}\)
矩阵的逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵
若两矩阵为同型矩阵且均可逆，则 \((\boldsymbol{AB})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}\)
逆矩阵的求法有两种：
将矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与单位矩阵写成增广矩阵，再对增广矩阵中的 \(\boldsymbol{A}\) 变换。当 \(\boldsymbol{A}\) 变换为阶梯矩阵时，单位矩阵就变成了逆矩阵
克拉默法则
卡拉默法则解决的是方程个数与未知数个数相等且系数行列式不等于零的线性方程组
如果线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，则方程有唯一解：
\(x_1=\frac{\left|\boldsymbol{A}_1\right|}{\left|\boldsymbol{A}\right|}, x_2=\left|\boldsymbol{A}_2\right|,\cdots,x_n=\left|\boldsymbol{A}_n\right|\)
其中， \(\boldsymbol{A}_j\) 是把系数矩阵的第 \(j\) 列的元素用 常数项矩阵 替换后得到的新的 \(n\) 阶矩阵。
分块矩阵
矩阵的初等变换和线性方程组
如果矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 经过有限次初等变换变成矩阵 \(B\) ，就称两矩阵等价，记作 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\) 。同理，还有列等价和行等价
- 最简形矩阵
矩阵的左上角有一个单位矩阵，其余矩阵均为零
矩阵的最简形是唯一的
将线性方程组的增广矩阵化为最简形就得到了方程组的解
矩阵可逆的充要条件是经过有限次初等行变换矩阵可化为单位矩阵。即： \(\boldsymbol{A}\stackrel{r}{\sim}\boldsymbol{E}\)
- 矩阵的秩
矩阵的最简子式的阶被成为矩阵的秩
可逆矩阵的秩等于矩阵的秩，不可逆矩阵的秩小于矩阵的秩。
若可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\)、 \(\boldsymbol{Q}\) 使得 \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}\) ，则 \(R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{B})\)
若 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=O\) ，且 \(\boldsymbol{A}\) 为列满秩矩阵，则 \(\boldsymbol{B}=O\)
对于高阶矩阵而言，将矩阵化为阶梯矩阵求秩是一个方便而有效的方法 |
线性方程组的解
对于 \(n\) 元线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) ，其 充要条件有 ：
| 无解 | \(R(\boldsymbol{A})<R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})\) |
|---|---|
有唯一解 | \(R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})=n\) |
有无穷多解 | \(R(\boldsymbol{A})=R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})<n\) |
\(n\) 元齐次线性方程组 \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\) 有非零解的充要条件是 \(R(\boldsymbol{A})<n\)
向量组的线性相关性
列向量使用黑体小写字母表示，行向量写成其转置形式 |
- 线性表示
给定向量组 \(A:\boldsymbol{a_1}. \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_m}\) 和向量 \(\boldsymbol{b}\) ，如果存在一组书，使得 \(\boldsymbol{b}=\lambda_1\boldsymbol{a_1} + \lambda_2\boldsymbol{a_2}\cdots\lambda_m\boldsymbol{a_m}\) ，则称向量 \(\boldsymbol{b}\) 能由向量组 \(A\) 线性表示。
向量 \(\boldsymbol{b}\) 能由向量组 \(A\) 线性表示的充要条件是 \(R(A)=R(A,\boldsymbol{b})\) 。若 \(\boldsymbol{b}\) 为向量组此结论亦成立。
若向量组 \(B\) 能由向量组 \(A\) 线性表示，则 \(R(B)\leq R(A)\)
若给定组 \(A:\boldsymbol{a_1}. \boldsymbol{a_2}, \cdots, \boldsymbol{a_m}\) ，若存在不全为零的数，使得
\(k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}, +\cdots,+k_m\boldsymbol{a_m}=\boldsymbol{0}\)
则称向量组 \(A\) 是 线性相关 的。
对于两个线性相关的向量而言，这两个向量对应成比例，几何意义是 两向量共线 。三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
向量组线性相关的充要条件是 \(R(A)<m\) ，线性无关的充要条件是 \(R(A)=m\)
若向量组 \(A\) 线性无关，向量组 \(B=(A,\boldsymbol{b})\) 线性相关，则 \(\boldsymbol{b}\) 能由向量组 \(A\) 线性表示，且这种表示是唯一的。
如果能在 \(A\) 中选出 \(r\) 个线性相关的向量，而任何选出的 \(r+1\) 个向量都是线性无关的。那么称这 \(r\) 个向量是 \(A\) 的一个 最大线性无关向量组。记作 \(R_A\) 。而 \(r\) 称为向量组的秩。
只含有零向量的向量组没有最大无关组，它的秩是 0
如果 线性无关 的向量组 \(A_0\) 是 \(A\) 的一个部分组，且 \(A\) 中的任意一个向量都能使用 \(A_0\) 表示，那么 \(A_0\) 是 \(A\) 的一个 最大无关组
矩阵的秩，与其行向量组或列向量组的秩相同
向量组 \(B\) 能由向量组 \(A\) 线性表示的充要条件是 \(R(A)=R(A,B)\)
若向量组 \(B\) 能由向量组 \(A\) 线性表示，则 \(R_B\leq R_A\)
线性方程组的解
若 \(x_1=\xi ,x_2=\xi_2\) 是方程的解，那么 \(x=x_1+x_2, x=kx_1\) 都是方程的解，其中 \(k\) 为实数。
齐次线性方程组解集的最大无关组称为该方程的 基础解系
设 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\) 的秩为 \(R\) ，则其对应的齐次线性方程组 \(boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\) 的解集的秩为 \(n-r\)
现在有两个方程 \(1. \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\) 和 \(2. \boldsymbol{Ax}=0\)
则：
若 \(x_1, x_2\) 都是方程 1 的解，那么 \(x_1-x_2\) 是方程 2 的解
如 \(\eta\) 是方程 1 的解， \(\xi\) 是方程 2 的解，那么 \(\eta+\xi\) 是方程 1 的解
综上可知：
非齐次线性方程组的通解 = 对应的齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组的一个特解