行列式
\(a_{ij}\) ，其中 \(i\) 是行标
逆序数为奇数的排列为奇排列，反之为偶排列
一个排列中的任意两个元素对换，改变奇偶性
上/下 三角行列式
除了主对角线之外的元素全部为零的行列式叫做 对角行列式
行列式的性质：
行列式与它的转置形式相同
对换行列式的两行/列，行列式变号
如果行列式两行/列成比例，则行列式为零
把行列式的某一行的各元素乘以同一个数加到另外一行，行列式不变
- 余子式
将 \(a_{ij}\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列划去留下来的 行列式 。记作 \(M_{ij}\)
- 代数余子式
\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
对于一个行列式，如果第 \(i\) 行除了 \(a_(ij)\) 外都为零，那么这个行列式的值 \(D=a_{ij}A_{ij}\)
行列式等于它的任一一行/列与其对应的代数余子式乘积之和
- 范德蒙德行列式
+ [latexmath] + \[\begin{aligned} \left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right| = \prod_{n\geq i>j\geq 1}(x_i-x_j) \end{aligned}\] +
行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为零。
对称矩阵满足 \(\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}\)
由矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 构成的行列式记作 \(det \boldsymbol{A}\) 或 \(\left|\boldsymbol{A}\right|\)
\(\left|\boldsymbol{A}^T\right|=\left|\boldsymbol{A}\right|\)
\(\left|\lambda\boldsymbol{A}\right|=\left|\lambda^n\boldsymbol{A}\right|\)
\(\left|\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right|=\left|\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right|=\left|\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right|\)
- 伴随矩阵：
+ [latexmath] + \[\begin{aligned} \boldsymbol{A}^*= \left(\begin{array}{llll} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{array}\right) \end{aligned}\] + + [IMPORTANT] .Important ==== 注意伴随矩阵的行列 ====
\(\boldsymbol{AA^*}=\boldsymbol{A^*A}=\left|\boldsymbol{A}\right|\boldsymbol{E}\)